Bài 1 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Số đo của cung trong phụ thuộc vào bán kính của nó
b) Độ dài của cung tròn tỉ lệ với số đo của cung tròn
c) Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó
d) Nếu Ou, Ov là hai tia đối nhau thì số đo góc lượng giác (Ou; Ov) là (2k + 1)π, k∈Z.
Lời giải chi tiết
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Bài 2 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao
Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà bưu điện bờ hồ Hà Nội, theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài là bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kin giờ.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức \(l = R\alpha \)
Ở đó R là bán kính, \(\alpha\) là số đo cung (đơn vị radian).
Lời giải chi tiết
Trong 15 phút, mũi kim phút vạch cung tròn có số đo \({\pi \over 2}\) rad nên cung đó có độ dài là:
\({\pi \over 2}.1,75\, \approx 2,75(m)\)
Mũi kim giờ vạch cung tròn có số đo \({\pi \over {24}}\) rad nên cung đó có độ dài:
\({\pi \over {24}}.1,26 = 0,16\,(m)\)
Bài 3 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao
Điền vào các ô trống trong bảng
Phương pháp giải
Áp dụng công thức \({\alpha \over \pi } = {a \over {180}}\) (a tính bằng độ, α được tính bằng radian)
Lời giải chi tiết
Ta có bảng sau:
Bài 4 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao
LG a
Đổi số đo độ của các cung tròn sau thành số đo radian (chính xác đến phần nghìn):
21o30' và 75o54'.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \({\alpha \over \pi } = {a \over {180}}\)\( \Rightarrow \alpha = \frac{{a\pi }}{{180}}\) (a tính bằng độ, α được tính bằng radian)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{21^0}30' = {\left( {21 + \frac{{30}}{{60}}} \right)^0} = 21,{5^0}\\
\Rightarrow \alpha = \frac{{a\pi }}{{180}} = \frac{{21,5.\pi }}{{180}} \approx 0,375\left( {rad} \right)\\
{75^0}54' = {\left( {75 + \frac{{54}}{{60}}} \right)^0} = 75,{9^0}\\
\Rightarrow \alpha = \frac{{a\pi }}{{180}} = \frac{{75,9.\pi }}{{180}} \approx 1,325\left( {rad} \right)
\end{array}\)
LG b
Đổi số đo radian của các cung tròn sau ra số đo độ : 2,5 (rad) và 2/π (rad) (có thể dùng máy tính bỏ túi).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \({\alpha \over \pi } = {a \over {180}}\) \( \Rightarrow a = \frac{{\alpha .180}}{\pi }\) (a tính bằng độ, α được tính bằng radian)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \alpha = 2,5\left( {rad} \right)\cr&\Rightarrow a = \frac{{\alpha .180}}{\pi } \cr&= {{{2,5.180} \over \pi }} \approx {143^0}14' \cr
& \alpha = \frac{2}{\pi }\left( {rad} \right)\cr&\Rightarrow a = \frac{{\alpha .180}}{\pi } \cr&= {{{2 \over \pi }.180} \over \pi } = {{{360} \over {\pi ^2} }} \approx {36^0}29' \cr} \)
Bài 5 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao
Coi kim giờ của đồng hồ là tia Ou, kim phút là tia Ov. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou;Ov) khi đồng hồ chỉ 3 giờ, chỉ 4 giờ, chỉ 9 giờ, chỉ 10 giờ.
Phương pháp giải
Xác định số đo góc lượng giác giữa hai tia Ou, Ov.
Chú ý chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Lời giải chi tiết
Số đo lượng giác (Ou, Ov) khi đồng hồ chỉ 3 giờ là \({\pi \over 2} + k2\pi \).
Số đo lượng giác (Ou, Ov) khi đồng hồ chỉ 4 giờ là \({{2\pi } \over 3} + k2\pi\).
Số đo lượng giác (Ou, Ov) khi đồng hồ chỉ 9 giờ là \(- {\pi \over 2} + k2\pi \).
Số đo lượng giác (Ou, Ov) khi đồng hồ chỉ 10 giờ là \(- {\pi \over 3} + k2\pi \,(k \in Z)\)
Bài 6 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao
Chứng minh
LG a
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo \({{10\pi } \over 3}\) và \({{22\pi } \over 3}\) thì có cùng tia cuối
Phương pháp giải:
Hai góc lượng giác cùng tia đầu, số đo hơn kém nhau \(k2\pi\) thì có cùng tia cuối.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\frac{{22\pi }}{3} = \frac{{12\pi }}{3} + \frac{{10\pi }}{3} = 4\pi + \frac{{10\pi }}{3}\)
Do đó hai góc này cùng tia cuối.
Cách khác:
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối khi và chỉ khi hiệu của chúng bằng 2kπ hoặc k3600 (k ∈ Z)
Ta có: \({{22\pi } \over 3} - {{10\pi } \over 3} = 4\pi = 2,2\pi \)
LG b
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo là 645o và -435o thì có cùng tia cuối
Lời giải chi tiết:
Ta có: 645o= - 75o+2.360o và - 435o= - 75o - 360o
⇒ hai góc có cùng tia cuối
Cách khác:
6450 - ( - 4350) = 10800 = 3.3600
⇒ hai góc có cùng tia cuối.
Bài 7 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao
Tìm số đo ao,-180o < a ≤ 180o của góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc trên mỗi hình sau:
Lời giải chi tiết
a) Góc lượng giác có dạng \({a^0} = - {180^0} + k{360^0}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} - {180^0} < a \le {180^0}\\ \Rightarrow - {180^0} < - {180^0} + k{360^0} \le {180^0}\\ \Leftrightarrow 0 < k{360^0} \le {360^0}\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 1\\ \Rightarrow k = 1\\ \Rightarrow {a^0} = - {180^0} + {1.360^0} = {180^0}\end{array}\)
b) Góc lượng giác có dạng \({a^0} = - {120^0} + k{360^0}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} - {180^0} < a \le {180^0}\\ \Rightarrow - {180^0} < - {120^0} + k{360^0} \le {180^0}\\ \Leftrightarrow - {60^0} < k{360^0} \le {300^0}\\ \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k \le \frac{5}{6}\\ \Rightarrow k = 0\\ \Rightarrow {a^0} = - {120^0} + {0.360^0} = - {120^0}\end{array}\)
c) Góc lượng giác có dạng \({a^0} = {300^0} + k{360^0}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} - {180^0} < a \le {180^0}\\ \Rightarrow - {180^0} < {300^0} + k{360^0} \le {180^0}\\ \Leftrightarrow - {480^0} < k{360^0} \le - {120^0}\\ \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k \le - \frac{1}{3}\\ \Rightarrow k = - 1\\ \Rightarrow {a^0} = {300^0} - {1.360^0} = - {60^0}\end{array}\)
d) Góc lượng giác có dạng \({a^0} = - {420^0} + k{360^0}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} - {180^0} < a \le {180^0}\\ \Rightarrow - {180^0} < - {420^0} + k{360^0} \le {180^0}\\ \Leftrightarrow {240^0} < k{360^0} \le {600^0}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3} < k \le \frac{5}{3}\\ \Rightarrow k = 1\\ \Rightarrow {a^0} = - {420^0} + {1.360^0} = - {60^0}\end{array}\)
Bài 8 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao
Cho ngũ giác đều A0A1A2A3A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo (độ và radian) \(\overparen{{A_0}{A_i}}\), \(\overparen{{A_i}{A_j}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(sd \overparen{{A_0}{A_i}}= i{{2\pi } \over 5} + k2\pi \)
Hay i.720 + k3600
Với mọi i = 0, 1, 2, 3, 4 k ∈ Z
Từ đó, theo hệ thức Sa-lơ:
\(\eqalign{
& sd \overparen{{A_i}{A_j}}= sd\overparen{{A_0}{A_j}} - sd\overparen{{A_0}{A_i}} + k2\pi \cr
& = (j - i){{2\pi } \over 5} + k2\pi \cr} \)
Hay (j – i).720 + 3600 (i, j = 0, 1, 2, 3, 4 ; i ≠ j; k ∈ Z)
Bài 9 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao
Tìm góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo dương nhỏ nhất, biết một góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo:
LG a
a) -900
Phương pháp giải:
Giải bpt \({0^0} < {a^0} + k{360^0} \le {360^0}\) tìm k, từ đó suy ra góc cần tìm.
Lời giải chi tiết:
Với a = -900 thì:
\({0^0} < - {90^0} + k{360^0} \le {360^0}\) \( \Leftrightarrow {90^0} < k{360^0} \le {450^0} \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k \le \frac{5}{4} \Rightarrow k = 1\)
Số dương nhỏ nhất cần tìm là 270.
LG b
10000
Lời giải chi tiết:
Với a = 1000o thì
\(\begin{array}{l}
{0^0} < {1000^0} + k{360^0} \le {360^0}\\
\Leftrightarrow - {1000^0} < k{360^0} \le - {640^0}\\
\Leftrightarrow - \frac{{25}}{9} < k \le - \frac{{16}}{9}\\
\Rightarrow k = - 2
\end{array}\)
Số dương nhỏ nhất cần tìm là 280
LG c
\({{30\pi } \over 7}\)
Phương pháp giải:
Giải bpt \(0 < \alpha + k2\pi \le 2\pi \) tìm k suy ra góc cần tìm.
Lời giải chi tiết:
Với α = \({{30\pi } \over 7}\) thì
\(\begin{array}{l}
0 < \frac{{30\pi }}{7} + k2\pi \le 2\pi \\
\Leftrightarrow - \frac{{30\pi }}{7} < k2\pi \le - \frac{{16\pi }}{7}\\
\Leftrightarrow - \frac{{15}}{7} < k < - \frac{8}{7}\\
\Rightarrow k = - 2
\end{array}\)
Số dương nhỏ nhất cần tìm là: \({{2\pi } \over 7}\)
Lg d
\( - {{15\pi } \over {11}}\)
Lời giải chi tiết:
Với α = \( - {{15\pi } \over {11}}\) thì
\(\begin{array}{l}
0 < - \frac{{15\pi }}{{11}} + k2\pi \le 2\pi \\
\Leftrightarrow \frac{{15\pi }}{{11}} < k2\pi \le \frac{{37\pi }}{{11}}\\
\Leftrightarrow \frac{{15}}{{22}} < k < \frac{{37}}{{22}}\\
\Rightarrow k = 1
\end{array}\)
Số dương nhỏ nhất cần tìm là: \({{7\pi } \over {11}}\)
Bài 10 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao
Tìm số đo radian α ,-π < α ≤π, của góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc trên mỗi hình sau.
Lời giải chi tiết
a) Hình 1: Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov có dạng: \(\alpha =2\pi +k2\pi\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- \pi \le 2\pi + k2\pi \le \pi \\
\Leftrightarrow - 3\pi \le k2\pi \le - \pi \\
\Leftrightarrow - \frac{3}{2} \le k \le - \frac{1}{2}\\
\Rightarrow k = - 1\\
\Rightarrow \alpha = 2\pi - 2\pi = 0
\end{array}\)
b) Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov có dạng: \(\alpha =\frac{{4\pi }}{3}+k2\pi\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- \pi \le \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \\
\Leftrightarrow - \frac{7}{3}\pi \le k2\pi \le - \frac{1}{3}\pi \\
\Leftrightarrow - \frac{7}{6} \le k \le - \frac{1}{6}\\
\Rightarrow k = - 1\\
\Rightarrow \alpha = \frac{{4\pi }}{3} - 2\pi = - \frac{{2\pi }}{3}
\end{array}\)
c) Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov có dạng: \(\alpha =-\frac{{5\pi }}{3}+k2\pi\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- \pi \le - \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \\
\Leftrightarrow \frac{2}{3}\pi \le k2\pi \le \frac{8}{3}\pi \\
\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{4}{6}\\
\Rightarrow k = 1\\
\Rightarrow \alpha = - \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi = \frac{\pi }{3}
\end{array}\)
d) Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov có dạng: \(\alpha =-\frac{{5\pi }}{4}+k2\pi\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- \pi \le - \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \le \pi \\
\Leftrightarrow \frac{1}{4}\pi \le k2\pi \le \frac{9}{4}\pi \\
\Leftrightarrow \frac{1}{8} \le k \le \frac{9}{8}\\
\Rightarrow k = 1\\
\Rightarrow \alpha = - \frac{{5\pi }}{4} + 2\pi = \frac{{3\pi }}{4}
\end{array}\)
Bài 11 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao
Chứng minh rằng hai tia Ou và Ov vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc lượng giác (Ou; Ov) có số đo là \((2k + 1){\pi \over 2};\,\,\,k \in Z\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& Ou \bot Ov \Leftrightarrow \left[ \matrix{
sđ(Ou,Ov) = {\pi \over 2} + k2\pi \,\,(k \in\mathbb Z) \hfill \cr
sđ(Ou,Ov) = - {\pi \over 2} + l2\pi (l \in\mathbb Z) \hfill \cr
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\pi \over 2} + (2l - 1)\pi \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow sđ(Ou,Ov) = {\pi \over 2} + m\pi = {\pi \over 2}(1 + 2m)\,\,(m \in\mathbb Z) \cr} \)
Bài 12 trang 192 SGK Đại số 10 Nâng cao
Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau thời gian t giờ (t≥0), kim giờ đến vị trí tia Ou kim phút đến vị trí tia Ov.
LG a
Chứng minh rằng khi quay như thế, kim giờ quét góc lượng giác (Ox; Ou) có số đo \( - {\pi \over 6}t\) , kim phút quét góc lượng giác (Ox; Ov) có số đo : -2πt. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou; Ov) theo t.
Lời giải chi tiết:
Khi kim giờ quay được một vòng (12 giờ) thì nó quét được một góc -2π (quay theo chiều âm)
Do đó, trong một giờ, kim giờ quét được góc lượng giác có số đo \( - {{2\pi } \over {12}}\)
Trong t giờ, kim giờ quét góc (Ox, Ou) có số đo \( - \frac{{2\pi }}{{12}}.t = - \frac{\pi }{6}t\)
Trong 1 giờ, kim phút quét được 1 góc \(-2\pi \) (theo chiều âm)
Nên trong t giờ, kim phút quét góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo -2πt.
Từ đó, theo hệ thức Salo, góc lượng giác (Ou, Ov) có:
\(\eqalign{
& sđ(Ou,Ov) \cr &= sđ(Ox,\,Ov) - sđ(Ox,Ou) + 12\pi \cr
& = - 2\pi t\, + {\pi \over 6}t + k2\pi \cr &= ( - {{11} \over 6}t + 2k)\pi \,\,(k \in\mathbb Z) \cr} \)
LG b
Chứng minh rằng hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi \(t = {{12k} \over {11}}\) với k là một số tự nhiên nào đó.
Lời giải chi tiết:
Hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = 2mπ (m ∈ Z)
Vậy \( - {{11t} \over 6} + 2k = 2m\) , tức là \({{11} \over 6}t = 2(k - m)\) .
Do đó: \(t = {{12(k-m)} \over {11}} = \frac{{12l}}{{11}},\,\,l \in Z\)
Nhưng vì t ≥ 0 nên l ∈ N.
LG c
Chứng minh rằng trong 12 giờ (0 ≤ t ≤ 12), hai tia Ou’ và Ov’ ở vị trí đối nhau khi và chỉ khi \(t = {6 \over {11}}(2k + 1)\) với k = 0, 1, ...10
Lời giải chi tiết:
Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = (2m – 1)π (m ∈ Z)
Vậy \( - {{11t} \over 6} + 2k = 2m\) - 1, tức là \({{11} \over 6}t = 2(k - m)\) + 1
Do đó: \(t = {6 \over {11}}(2l + 1)\pi \,\,\,(l \in Z)\)
Vì \(0 ≤ t ≤ 12\) nên l = 0, 1, 2, ... 10
Bài 13 trang 192 SGK Đại số 10 Nâng cao
Hỏi hai góc lượng giác có số đo \({{35\pi } \over 3}\) và \({{m\pi } \over 5}\) (m∈Z) có thể có cùng tia đầu tia cuối không?
Lời giải chi tiết
Không thể được vì \({{35\pi } \over 3} - {{m\pi } \over 5} = k2\pi \,\,(k \in Z)\) thì:
35.5 – 3m = 30k (vô lý vì 35.5 không chia hết cho 3)
Được cập nhật: 12 tháng 4 lúc 8:06:36 | Lượt xem: 614
