Bài 1: Đại cương về hàm số

Bài 1 trang 44 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau

LG a

\(\displaystyle y = {{3x + 5} \over {{x^2} - x + 1}}\)

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\frac{P}{Q}\) xác định khi \(Q\ne 0\).

Lời giải chi tiết:

Vì \({x^2} - x + 1 = {x^2} - 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \)\(= {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x\)

Do đó x² – x + 1 ≠ 0 với mọi \(x ∈\mathbb R\) nên tập xác định của hàm số là \(D =\mathbb R\)

LG b

\(\displaystyle y = {{x - 2} \over {{x^2} - 3x + 2}}\)

Lời giải chi tiết:

Do phương trình: x² - 3x + 2 = 0 có tập nghiệm là {1; 2} nên:

Hàm số xác định

\( \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne 1 \hfill \cr 
x \ne 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}\mathbb R\backslash \left\{ {1,{\rm{ }}2} \right\}\)

LG c

\(y = {{\sqrt {x - 1} } \over {x - 2}}\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định:

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr 
x - 2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr 
x \ne 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(D = [1; 2) ∪ (2; +∞)\) hoặc \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\)

LG d

\(y = {{{x^2} - 2} \over {(x + 2)\sqrt {x + 1} }}\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 2 \ne 0 \hfill \cr 
x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne- 2 \hfill \cr 
x > - 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow x > - 1\)

Vậy \(D= (-1; +∞)\)

Bài 2 trang 44 SGK Đại số 10 nâng cao

Biểu đồ hình 2.8 cho biết số triệu tấn gạo xuất khẩu của Việt Nam trong các năm từ 2000 đến 2005. Biểu đồ này cho ta một hàm số. Hãy cho biết tập xác định và nêu một vài giá trị của hàm số đó.

Lời giải chi tiết

Ta gọi hàm số là f(x). Khi đó, tập xác định của hàm là : {2000; 2001; 2002; 2003; 2004; 2005}.

Ta thấy:

f(2000) = 3,48; f((2001) = 3,72);

f(2002) = 3,24; f(2003) = 3,82;

f(2004) = 4,05; f(2005) = 5,20.

Chú ý:

Hàm số ở đây chỉ cho tại các năm 2000,...,2005 nên tập xác định là tập bao gồm 6 phần tử. Các em chú ý không viết nhầm tập xác định thành [2000;2005] là sai.

Bài 3 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải chi tiết

Bảng biến thiên của hàm số: 

Bài 4 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

LG a

y = x² + 2x – 2 trên mỗi khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1, +∞)\)

Phương pháp giải:

Hàm số f đồng biến trêm K khi và chỉ khi 

\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0\)

Hàm số f nghịch biến trêm K khi và chỉ khi 

\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Lời giải chi tiết:

+ Với mọi x₁; x₂ ∈  \((-∞; -1)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² + 2x₂ – 2 – (x₁² + 2x₁ – 2)

 = x₂² – x₁² + 2(x₂ – x₁) = (x₂ – x₁)(x₁ + x₂ + 2)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)

Vì x₁; x₂ ∈  \((-∞; -1)\) nên x₁ < -1 và x₂ < -1 nên x₁ + x₂ + 2 < 0

Nên \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số y = x² + 2x – 2 nghịch biến trên \((-∞; -1)\)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-1, +∞)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\)

(Vì x₁; x₂ ∈  \((-1;+∞)\) nên x₁ > -1; x₂ > -1)

Vậy hàm số y =  x² + 2x – 2 đồng biến trên \((-1, +∞)\)

LG b

\(y = -2x^2 + 4x + 1 \) trên mỗi khoảng \((-∞; 1)\) và \((1, +∞)\)

Lời giải chi tiết:

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-∞; 1)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = (-2x₂² + 4x₂ + 1) – (-2x₁² + 4x₁ + 1)

= -2(x₂² - x₁²) + 4(x₂ - x₁)

\(=  - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\)

\(= 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( { - {x_2} - {x_1} + 2} \right)\)

= 2(x₂ - x₁)[2 – (x_{1 +} x₂)]

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \)= 2 – (x_{1 +} x₂)

Vì x₁ < 1 và x₂ < 1 nên \({x_1} + {x_2} < 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) > 0\)

Vậy hàm số y = -2x + 4x + 1 đồng biến trên khoảng \((-∞; 1)\)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((1; +∞)\) thì x₁ > 1 và x₂ > 1 và x₁ ≠ x₂ ta có:

\({x_1} + {x_2} > 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) < 0\)

Do đó \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \)=2 – (x_{1 +} x₂) < 0

Vậy hàm số y = -2x + 4x + 1 nghịch biến trên khoảng \((1; +∞)\)

LG c

\(y = {2 \over {x - 3}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3, +∞)\)

Lời giải chi tiết:

+ Với x₁, x₂ ∈ \((- ∞; 3)\) với x₁ ≠ x₂ ta có:

\(\eqalign{
& f({x_2}) - f({x_1}) = {2 \over {{x_2} - 3}} - {2 \over {{x_1} - 3}} \cr 
& = {{2({x_1} - 3) - 2({x_2} - 3)} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr&= {{2({x_1} - {x_2})} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr 
& \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr} \)

(vì x₁ < 3; x₂ < 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}}<0\)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\)  nghịch biến trên \((- ∞; 3)\)

+ Với x₁, x₂ ∈ \((3; +∞)\) với x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} < 0\)

(vì x₁ > 3; x₂ > 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((3; + ∞)\)

Bài 5 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Mỗi hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ?

LG a

y = x⁴ – 3x² + 1

Phương pháp giải:

Cho hàm số y=f(x) với tập xác định D.

Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D ta có -x cũng thuộc D và f(-x)=f(x).

Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D ta có -x cũng thuộc D và f(-x)=-f(x).

Lời giải chi tiết:

y = x⁴ – 3x² + 1

f(x) = x⁴ – 3x² + 1

Với mọi x ∈ \(\mathbb R\) thì – x ∈ \(\mathbb R\)

Và f(- x) = (-x)⁴ – 3(-x)² + 1 = x⁴ – 3x² + 1 = f(x)

⇒ y = x⁴ – 3x² + 1 là hàm số chẵn

LG b

y = -2x³ + x

Lời giải chi tiết:

y = -2x³ + x

f(x) = -2x³ + x

Với mọi x ∈ \(\mathbb R\) thì – x ∈ \(\mathbb R\)

Và f(-x) = -2(-x)³ + (-x) = - ( -2x³ + x) = -f(x)

⇒ y = -2x³ + x là hàm số lẻ

LG c

y = |x + 2| - |x – 2|

Lời giải chi tiết:

 f(x) = |x + 2| - |x – 2|

Với mọi x ∈ \(\mathbb R\) thì – x ∈ \(\mathbb R\)

Và f(-x) = |-x + 2| - |- x – 2|

=|-(x-2)| - |-(x+2)|

= |x – 2| - |x + 2|

= - |x + 2| + |x – 2|

= - (|x + 2| - |x – 2|)

= - f(x)

⇒ y = |x + 2| - |x – 2| là hàm số lẻ

LG d

y = |2x + 1| + |2x – 1|

Lời giải chi tiết:

f(x) = |2x + 1| + |2x – 1|

Với mọi x ∈ \(\mathbb R\) thì – x ∈ \(\mathbb R\)

Và f(-x) = |-2x + 1| + |-2x – 1|

= |- (2x - 1)| + |- (2x + 1)|

= |2x – 1| + |2x + 1|

= f(x)

⇒ y = |2x + 1| + |2x – 1| là hàm số chẵn 

Bài 6 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho đường thẳng (d): y = 0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):

LG a

Lên trên 3 đơn vị

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị (G) của hàm số y=f(x); p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó,

1) Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y=f(x)+q.

2) Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y=f(x)-q.

3) Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y=f(x+p).

4) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y=f(x-p)

Lời giải chi tiết:

Tịnh tiến (d) lên trên 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = 0,5x + 3.

LG b

Xuống dưới 1 đơn vị

Lời giải chi tiết:

Tịnh tiến (d) xuống dưới 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = 0,5x – 1

LG c

Sang phải 2 đơn vị

Lời giải chi tiết:

Tịnh tiến (d) sang phải 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = 0,5 (x – 2) hay y = 0,5x - 1

LG d

Sang trái 6 đơn vị

Lời giải chi tiết:

Tịnh tiến (d) sang trái 6 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = 0,5(x + 6) hay y = 0,5x +3 

Bài 7 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực dương với căn bậc hai của nó có phải là một hàm số không? Tại sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x).

Lời giải chi tiết

Quy tắc này không phải là một hàm số vì mỗi số thực dương có tới hai căn bậc hai phân biệt, như vậy vi phạm điều kiện duy nhất trong định nghĩa hàm số.

Chú ý:

HS có nhầm lẫn mỗi số thực dương chỉ có 1 căn bậc hai là sai. Thực chất, mỗi số thực dương \(a\) có hai căn bậc hai là hai số đối nhau \( \pm \sqrt a \)

Bài 8 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Giả sử (G) là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D và A là một điểm trên trục hoành có hoành độ bằng a. Từ A, ta dựng đường thẳng (d) song song (hoặc trùng) với trục tung.

LG a

Khi nào thì (d) có điểm chung với (G)? (Hướng dẫn: Xét hai trường hợp a thuộc D và a không thuộc D)

Phương pháp giải:

Vẽ hình minh họa trong hai trường hợp \(a\in D\) và \(a\notin D\) để suy ra d và (G) có giao điểm hay không.

Lời giải chi tiết:

Hình vẽ bên minh họa cho trường hợp D = (d; c).

Ở đó, đồ thị (G) là đường cong trong hình, các đường thẳng \(d_1,d_2\) là các đường thẳng song song hoặc trùng Oy, đi qua điểm \(A_1(a_1;0),A_2(a_2;0)\).

Trường hợp a = a₁ ∈ D, ta có (d₁) có giao điểm với (G) tại I.

Trường hợp a = a₂ ∉ D thì (d₂) và (G) không có giao điểm.

Vậy,

- (d) và (G) có điểm chung khi a ∈ D.

- (d) và (G) không có điểm chung khi a ∉ D.

LG b

(d) có thể có bao nhiêu điểm chung với (G)? Vì sao?

Lời giải chi tiết:

(d) và (G) có không quá một điểm chung, vì nếu trái lại, gọi M₁ và M₂ là hai điểm chung phân biệt thì ứng với a có tới hai giá trị của hàm số là các tung độ của điểm M₁, M₂.

Trái với định nghĩa của hàm số.

LG c

Đường tròn có thể là đồ thị của hàm số nào không? Vì sao?

Lời giải chi tiết:

Đường tròn không thể là đồ thị của một hàm số vì đường thẳng song song với Oy cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Chú ý: Đường tròn có thể coi là sự hợp bởi hai đồ thị hàm số.

Ở hình trên ta có thể xem đường tròn là sự hợp bởi hai đồ thị hàm số nên đồ thị (G₁) là cung DmC và đồ thị (G₂) là cung DnC.

Bài 9 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = {{3x + 1} \over {{x^2} - 9}}\)

Lời giải chi tiết:

y xác định \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm {\rm{ }}3\)

Vậy tập xác định \(D = \mathbb R\backslash \left\{ { \pm {\rm{ }}3} \right\}\) 

LG b

\(y = {x \over {1 - {x^2}}} - \sqrt { - x} \)

Lời giải chi tiết:

y xác định 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 - {x^2} \ne 0 \hfill \cr 
- x \ge 0 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne \pm 1 \hfill \cr 
x \le 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr 
x \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(D = (-∞;-1)\cup (-1; 0]\) hoặc \(D = \left( { - \infty ;0} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

LG c

\(y = {{x - 3\sqrt {2-x} } \over {\sqrt {x + 2} }}\)

Lời giải chi tiết:

y xác định 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2 - x \ge 0 \hfill \cr 
x + 2 > 0 \hfill \cr} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 2 \hfill \cr 
x > - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 < x \le 2\)

Vậy \(D = (-2, 2]\)

LG d

\(y = {{\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x} } \over {(x - 2)(x - 3)}}\)

Lời giải chi tiết:

y xác định

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr 
4 - x \ge 0 \hfill \cr 
(x - 2)(x - 3) \ne 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr 
x \le 4 \hfill \cr 
x \ne 2;\,x \ne 3 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 \le x \le 4 \hfill \cr 
x \ne 2;x \ne 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \( D = [1, 2) ∪(2, 3) ∪ (3, 4]\) hoặc \(D = \left[ {1;4} \right]\backslash \left\{ {2;3} \right\}\)

Bài 10 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho hàm số:

\(f(x) = \left\{ \matrix{
- 2(x - 2);\,\,\, - 1 \le x < 1 \hfill \cr 
\sqrt {{x^2} - 1} ;\,\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

LG a

Cho biết tập xác định của hàm số f

Phương pháp giải:

Tìm TXĐ của mỗi hàm trong từng khoảng rồi hợp các kết quả lại với nhau.

Lời giải chi tiết:

Với \( - 1 \le x < 1\) thì \(f\left( x \right) =  - 2\left( {x - 2} \right)\) luôn xác định.

Với \(x \ge 1\) thì \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} \)

Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} \) xác định khi \({x^2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 1\) (luôn đúng vì \(x \ge 1\))

Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \left[ { - 1;1} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right) = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).

LG b

Tính \(f(-1); f(0,5); f({{\sqrt 2 } \over 2} ); f(1); f(2)\)

Phương pháp giải:

Kiểm tra từng giá trị x thuộc khoảng nào rồi thay vào công thức hàm số tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(x =  - 1 \in \left[ { - 1;1} \right)\) nên \(f(-1) = -2(-1 – 2) = 6\)

\(x =  0,5 \in \left[ { - 1;1} \right)\) nên \(f(0,5) = -2(0,5 – 2) = 3\)

\(x =  {{\sqrt 2 } \over 2 } \in \left[ { - 1;1} \right)\) nên

\(f({{\sqrt 2 } \over 2}) =  - 2({{\sqrt 2 } \over 2} - 2) =  - \sqrt 2  + 4\)

Vì \(1 \in \left[ {1; + \infty } \right)\) nên \(f(1)  = \sqrt {{1^2} - 1} = 0\)

Vì \(2 \in \left[ {1; + \infty } \right)\) nên \(f(2) = \sqrt {{2^2} - 1}  =\sqrt 3\) 

Bài 11 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Trong các điểm \(A(-2, 8); B(4, 12); C(2, 8);\)\( D(5, 25 +\sqrt 2 )\)

Điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^2} + \sqrt {x - 3} \) ? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Tập xác định của hàm số \(D = [3; +∞)\)

Ta có:

\(x = -2\) và \(x = 2\) không thuộc tập xác định nên điểm \(A(-2; 8)\) và \(C(2; 8)\) không thuộc đồ thị hàm số.

Ta có:

\(f(4) = {4^2} + \sqrt {4 - 3}  = 17\) \(⇒ B(4; 12)\) không thuộc đồ thị hàm số

\(f(5) = {5^2} + \sqrt {5 - 3}  = 25 + \sqrt 2 \) \(⇒ D(5; 25 +\sqrt 2  )\) thuộc đồ thị hàm số

Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

LG a

\(y = {1 \over {x - 2}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 2)\) và \((2; +∞)\)

Lời giải chi tiết:

\(f(x) = {1 \over {x - 2}}\)

+ Với x₁; x₂ ∈ \((-∞; 2)\) và x₁ ≠ x₂; ta có:

\(f({x_2}) - f({x_1}) = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} \)\(= {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\)

\(= {{{x_1} - {x_2}} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\)

(vì \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;2} \right) \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - 2 < 0\\
{x_2} - 2 < 0
\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) > 0\))

Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\) nghịch biến trên \((-∞; 2)\)

+ Với x₁; x₂ ∈ \((2; +∞)\) và x₁ ≠ x₂; ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\)

Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\)  nghịch biến trên \((2; +∞)\)

Bảng biến thiên

LG b

y = x² – 6x + 5 trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3; +∞)\)

Lời giải chi tiết:

 f(x) = x² – 6x + 5

+ Với x₁; x₂ ∈ \((-∞; 3)\)  và x₁ ≠ x₂; ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² – 6x₂ + 5 – (x₁² – 6x₁ + 5)

= x₂² - x₁² + 6(x₁ – x₂) = (x₂ – x₁)(x₁  + x₂ – 6)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0\)  (vì x₁ < 3; x₂ < 3)

Vậy hàm số y = x² – 6x + 5 nghịch biến trên \((-∞, 3)\) 

+ Với x₁; x₂ ∈ \((3, +∞)\) và x₁ ≠ x₂; ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 > 0\) (vì x₁ > 3; x₂ > 3)

Vậy hàm số y = x² – 6x + 5 đồng biến trên \((3;+∞)\) 

Bảng biến thiên

LG c

y = x²⁰⁰⁵ + 1 trên khoảng \((-∞; +∞)\)

Lời giải chi tiết:

Với mọi x₁, x₂ ∈ \((-∞; +∞)\) , ta có x₁ < x₂ 

\(\Rightarrow\) x₁²⁰⁰⁵ < x₂²⁰⁰⁵

\(\Rightarrow\)  x₁²⁰⁰⁵ + 1 < x₂²⁰⁰⁵ + 1

hay f(x₁) < f(x₂) (y = f(x) = x²⁰⁰⁵ + 1).

Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên \((-∞; +∞)\)

Bài 13 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

LG a

Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó

Lời giải chi tiết:

Bảng biến thiên của hàm số

LG b

Bằng tính toán, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng  (-∞, 0) và (0, +∞) và kiểm tra lại kết quả so với bảng biến thiên đã lập.

Lời giải chi tiết:

Với x₁, x₂ ∈ \((-∞; 0)\) và x₁ ≠ x₂; ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{{{x_2}}} - \frac{1}{{{x_1}}} = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\\
\Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}:\frac{1}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= - \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} < 0
\end{array}\)

(vì x₁ < 0; x₂ < 0)

Vậy hàm số \(y = {1 \over x}\) nghịch biến trên \((-∞; 0)\)

Tương tự hàm số \(y = {1 \over x}\) cũng nghịch biến trên \((0; +∞)\)

Cách khác:

Với mọi x₁, x₂ ∈ (0; + ∞ ) ta có 0 < x₁ < x₂ => 1/x₁ > 1/x₂ 

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0; + ∞ ).

Với mọi x₁, x₂ ∈ (- ∞; 0), ta có:

x₁ < x₂ < 0 => -x₁ > -x₂ > 0 => 1/(-x₁) < 1.(-x₂) => 1/x₁ > 1/x₂

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞; 0)

Bài 14 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao

Tập con S của tập số thực \(\mathbb R\) gọi là đối xứng nếu mọi x thuộc S, ta đều có – x thuộc S. Em có nhận xét gì về tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ).

Từ nhận xét đó, em có kết luận gì về tính chẵn – lẻ của hàm số \(y = \sqrt x \) ? Tại sao?

Lời giải chi tiết

Tập xác định D của một hàm số chẵn (lẻ) là tập đối xứng vì với mỗi x thuộc D thì -x cũng thuộc D.

Hàm số \(y = \sqrt x \) không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ vì tập xác định của nó là \(D = [0; +∞)\) không phải là tập đối xứng (do 1 ∈ D nhưng -1 ∉ D).

Bài 15 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao

Gọi (d) là đường thẳng \(y = 2x\) và (d’) là đường thẳng \(y = 2x – 3\). Ta có thể coi (d’) có được là do tịnh tiến (d):

LG a

Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?

Giải chi tiết:

(d’) có được là do tịnh tiến xuống dưới 3 đơn vị

LG b

Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?

Giải chi tiết:

Ta có:

\(y = 2x - 3 = 2(x - {3 \over 2})\) 

Vậy (d’) có được là do tịnh tiến (d) sang phải \({3 \over 2}\) đơn vị.

Bài 16 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho đồ thị (H) của hàm số: \(y =  - {2 \over x}\)

LG a

Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào ?

Giải chi tiết:

Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = {{ - 2} \over x} + 1\)

LG b

Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?

Giải chi tiết:

Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y =  - {2 \over {x + 3}}\)

LG c

Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào ?

Giải chi tiết:

Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y =  - {2 \over {x + 3}} + 1\)

Được cập nhật: 16 tháng 4 lúc 13:39:47 | Lượt xem: 522